Новости  Акты  Бланки  Договор  Документы  Правила сайта  Контакты
 Топ 10 сегодня Топ 10 сегодня 
  
13.10.2015

Таблица истинности и ложности

Глава 5 — Логические основы компьютеров Глава 5. Логические основы компьютеров 5. Что такое алгебра логики? Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений истинности или ложности и логических операций над. Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. Что же такое логическое высказывание? Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo. Джордж Буль Так, например, предложение " 6 — четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение " Рим — столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное. Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения " ученик десятого класса" и " информатика — интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие " интересный предмет". Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла. Предложения типа " в городе A более миллиона жителей", " у него голубые глаза" не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами. Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями. Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание " площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если. Такие слова и словосочетания называются логическими связками. Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными. Так, например, из элементарных высказываний " Петров — врач", " Петров — шахматист" при помощи связки " и" можно получить составное высказывание " Петров — врач и шахматист", понимаемое как " Петров — врач, хорошо играющий в шахматы". При помощи связки " или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание " Петров — врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как " Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно". Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний. Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В — высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и Здесь "и" — логическая связка, А, В — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения — "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0". Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями имеет свое название и обозначение: НЕ Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием или знаком. Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. И Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией лат. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" — ложны. ИЛИ Операция, выражаемая связкой "или" в неисключающем смысле этого слованазывается дизъюнкцией лат. Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" — истинны. ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками "если. Высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: "данный четырёхугольник — квадрат" А и "около данного четырёхугольника можно описать окружность" Рассмотрим составное высказываниепонимаемое как "если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность". Есть три варианта, когда высказывание истинно: А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность; А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника ; A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность. Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность. В обычной речи связка "если. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы", "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин". РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками " тогда и только тогда", " необходимо и достаточно", ". Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3", "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3" истинны, а высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5", "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3" ложны. Высказывания А и В, образующие составное высказываниемогут быть совершенно не связаны по содержанию, например: "три больше двух" А"пингвины живут в Антарктиде" Отрицаниями этих высказываний являются высказывания "три не больше двух""пингвины не живут в Антарктиде". Образованные из высказываний А и В составные высказывания A B истинны, а высказывания A и B — ложны. Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция. Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания. Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания "не"затем конъюнкция "и"после конъюнкции — дизъюнкция "или" и в последнюю очередь — импликация. Что такое логическая формула? С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой. Определение логической формулы: Всякая логическая переменная и символы "истина" "1" и "ложь" "0" — формулы. Если А и В — формулы, тоА. Никаких других формул в алгебре логики. В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется в виде A v B Такая же формула соответствует высказыванию "если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика". Как показывает анализ формулы A v B C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях — значение "ложь" разберите самостоятельно эти случаи. Такие формулы называются выполнимыми. Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А vсоответствующая высказыванию "Этот треугольник прямоугольный или косоугольный". Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями. В качестве другого примера рассмотрим формулу Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями. Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными. Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием? Из этого следует два вывода: одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных; на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера. В каком виде записываются в памяти компьютера и в регистрах процессора данные и команды? Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины. Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации. Мы уже рассмотрели способы записи двоичной информации на и. В электронных устройствах компьютера двоичные единицы чаще всего кодируются более высоким уровнем напряжения, чем двоичные нули или наоборотнапример: 5. Что такое логический элемент компьютера? Логический элемент компьютера — это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую функцию. Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ и другие называемые также вентилямиа также триггер. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода. Например, +5 вольт и 0 вольт. Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности. Таблица истинности это табличное представление логической схемы операциив котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов операндов вместе со значением истинности выходного сигнала результата операции для каждого из этих сочетаний. Что такое схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ? С х е м а И Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль. С х е м а ИЛИ Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица. Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами представлено на рис. Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение на структурных схемах инвертора — на рисунке 5. Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом:где читается как "инверсия x и y". Условное обозначение на структурных схемах схемы И—НЕ с двумя входами представлено на рисунке 5. Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом:гдечитается как "инверсия x или y ". Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ—НЕ с двумя входами представлено на рис. Триггер — это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое — двоичному нулю. Термин триггер происходит от английского слова trigger — защёлка, спусковой крючок. Самый распространённый тип триггера — так называемый RS-триггер S и R, соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс. Условное обозначение триггера — на рис. На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов. Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие — нулем. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров. Сумматор — это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел. Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины. Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров, с рассмотрения которых мы и начнём. Условное обозначение одноразрядного сумматора на рис. В результате сложения получаются две цифры: 1. Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя входами и двумя выходами, работа которого может быть описана следующей таблицей истинности: Входы Выходы Первое слагаемое Второе слагаемое Перенос Сумма Перенос 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого. Какие основные законы выполняются в алгебре логики? В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений: ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ Закон Для ИЛИ Для И Переместительный Сочетательный Распределительный Правила де Моргана Идемпотенции Поглощения Склеивания Операция переменной с ее инверсией Операция с константами Двойного отрицания 5. Как составить таблицу истинности? Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы. Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре: 0, 00, 11, 01, 1. Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь: 0, 0, 00, 0, 10, 1, 00, 1, 11, 0, 01, 0, 11, 1, 01, 1, 1. Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т. Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения промежуточных формул. Составим таблицу истинности для формулыкоторая содержит две переменные x и y. В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных формул и в последнем столбце — значение формулы. В результате получим таблицу: Переменные Промежуточные логические формулы Формула 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 1, то есть является тождественно истинной. Таблица истинности для формулы : Переменные Промежуточные логические формулы Формула 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 0, то есть является тождественно ложной. Таблица истинности для формулы : Переменные Промежуточные логические формулы Формула 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 Из таблицы видно, что формула в некоторых случаях принимает значение 1, а в некоторых — 0, то есть является выполнимой. Как упростить логическую формулу? Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики. Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных. Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т. Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул: 1 законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами ; 2 применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией ; 3 повторяется второй сомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя используется закон склеивания ; 4 вводится вспомогательный логический сомножитель ; затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых используется закон поглощения ; 5 сначала добиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания ; 6 выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с константами ; 7 к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания ; 8 общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках — первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией ; 9 используются распределительный закон для дизъюнкции, правило операции переменной с ее инверсией, правило операций с константами, переместительный закон и распределительный закон для конъюнкции ; 10 используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон поглощения. Из этих примеров видно, что при упрощении логических формул не всегда очевидно, какой из законов алгебры логики следует применить на том или ином шаге. Навыки приходят с опытом. Что такое переключательная схема? В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т. Разработка таких схем весьма трудоёмкое. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики. Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал. Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю. Будем считать, что два переключателя Х и связаны таким образом, что когда Х замкнут, то разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю должна соответствовать переменная. Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости. Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую при одном и том же входном сигнале. Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей. Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы. СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам: составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия; упрощению этой функции; построению соответствующей схемы. АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных. Построим схему, содержащую 4 переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов. В этом случае можно обойтись без построения таблицы истинности. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей. Схема имеет вид: 3. Найдем функцию проводимости схемы: Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b. Упростим переключательные схемы: а Решение: Упрощенная схема: б. Здесь первое логическое слагаемое является отрицанием второго логического слагаемогоа дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1. Упрощенная схема : в Упрощенная схема: г Упрощенная схема: д по закону склеивания Упрощенная схема: е Решение: Упрощенная схема: 5. Как решать логические задачи? Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач: средствами алгебры логики; табличный; с помощью рассуждений. Познакомимся с ними поочередно. Решение логических задач средствами алгебры логики Обычно используется следующая схема решения: изучается условие задачи; вводится система обозначений для логических высказываний; конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи; определяются значения истинности этой логической формулы; из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок. — Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. — Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым. Питер, к которому обратился Ник, возмутился: — Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину. По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки? Введем обозначения для логических высказываний: Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези. Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается. Победителем этапа гонок стал Шумахер. Некий любитель приключений отправился в кругосветное путешествие на яхте, оснащённой бортовым компьютером. Его предупредили, что чаще всего выходят из строя три узла компьютера — a, b, c, и дали необходимые детали для замены. Выяснить, какой именно узел надо заменить, он может по сигнальным лампочкам на контрольной панели. Лампочек тоже ровно три: x, y и z. Инструкция по выявлению неисправных узлов такова: если неисправен хотя бы один из узлов компьютера, то горит по крайней мере одна из лампочек x, y, z; если неисправен узел a, но исправен узел с, то загорается лампочка y; если неисправен узел с, но исправен узел b, загорается лампочка y, но не загорается лампочка x; если неисправен узел b, но исправен узел c, то загораются лампочки x и y или не загорается лампочка x; если горит лампочка х и при этом либо неисправен узел а, либо все три узла a, b, c исправны, то горит и лампочка y. В пути компьютер сломался. На контрольной панели загорелась лампочка x. Тщательно изучив инструкцию, путешественник починил компьютер. Но с этого момента и до конца плавания его не оставляла тревога. Он понял, что инструкция несовершенна, и есть случаи, когда она ему не поможет. Какие узлы заменил путешественник? Какие изъяны он обнаружил в инструкции? Введем обозначения для логических высказываний: a — неисправен узел а; x — горит лампочка х; b — неисправен узел b; y — горит лампочка y; с — неисправен узел с; z — горит лампочка z. Ответ на первый вопрос задачи: нужно заменить блоки b и c; блок а не требует замены. Ответ на второй вопрос задачи получите самостоятельно. Решение логических задач табличным способом При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что: Смит самый высокий; играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами? Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание. Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют. Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями: скрипка флейта альт кларнет гобой труба Браун 0 0 1 1 0 0 Смит 0 0 0 Вессон 0 0 Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон. Из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки "Вессон" можно заполнить нулями: скрипка флейта альт кларнет гобой труба Браун 0 0 1 1 0 0 Смит 0 0 0 0 Вессон 1 0 0 0 0 1 Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия. Здесь исходные данные разбиваются на тройки имя — профессия — увлечение. Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист. Имя Юра Профессия врач Увлечение туризм Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач — Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени — Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем: Имя Юра Тимур Влад Профессия физик врач юрист Увлечение бег туризм регби Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и бегун. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что: Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме; парижанка не снимается в кино; та, кто живет в Риме, певица; Линда равнодушна к балету. Где живет Айрис, и какова ее профессия? Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание: Париж Рим Чикаго Пение Балет Кино 0 Джуди Айрис 0 Линда 0 Далее рассуждаем следующим образом. Так как Линда живет не в Риме, то, согласно условию 3, она не певица. В клетку, соответствующую строке "Линда" и столбцу "Пение", ставим 0. Из таблицы сразу видно, что Линда киноактриса, а Джуди и Айрис не снимаются в кино. Париж Рим Чикаго Пение Балет Кино 0 Джуди 0 Айрис 0 0 Линда 0 0 1 Согласно условию 2, парижанка не снимается в кино, следовательно, Линда живет не в Париже. Но она живет и не в Риме. Следовательно, Линда живет в Чикаго. Так как Линда и Джуди живут не в Париже, там живет Айрис. Джуди живет в Риме и, согласно условию 3, является певицей. А так как Линда киноактриса, то Айрис балерина. В результате постепенного заполнения получаем следующую таблицу: Париж Рим Чикаго Пение Балет Кино 0 0 1 Джуди 1 0 0 1 0 0 Айрис 0 1 0 0 0 1 Линда 0 0 1 Ответ. Она живет в Париже. Решение логических задач с помощью рассуждений Этим способом обычно решают несложные логические задачи. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? Имеется три утверждения: Вадим изучает китайский; Сергей не изучает китайский; Михаил не изучает арабский. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей. Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение: Дима сказал: "Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов". Антон сказал: "Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин". Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин". Вадим сказал: "Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов". Какую фамилию носит каждый из друзей? Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как А Б, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии. Зафиксируем высказывания каждого из друзей: Д М и Б Х; А М и В Б; В Т и Б М; В Б и Г Ч; Г Ч и А Допустим сначала, что истинно Д Но, если истинно Д М, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит А М и Б М ложно. Но если А М и Б М ложны, то должны быть истинны В Б и В Т, но В Б и В Т одновременно истинными быть не могут. Значит остается другой случай: истинно Б Этот случай приводит к цепочке умозаключений: Б Х истинно Б М ложно В Т истинно А Т ложно Г Ч истинно В Б ложно А М истинно. Ответ: Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Мишин, Дима — Белкин. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят? Один из них самый откровенный оба раза говорил правду; второй самый скрытный оба раза говорил неправду, третий осторожный один раз сказал правду, а другой раз — неправду. Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов: Россия — "Проект не наш" 1"Проект не США" 2 ; США — "Проект не России" 3"Проект Китая" 4 ; Китай — "Проект не наш" 5"Проект России" 6. Узнаем, кто из министров самый откровенный. Если это российский министр, то из справедливости 1 и 2 следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию. Если самый откровенный — министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию. Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что 5 и 6 справедливы, cледует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны. Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее — российский, скрытнее — министр США. Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие — нет объясните почему : а " Солнце есть спутник Земли"; б " 2+3? Толстого "Война и мир" 3 432 536 слов"; д " Санкт-Петербург расположен на Неве"; е " музыка Баха слишком сложна"; ж " первая космическая скорость равна 7. Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, какие — ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить. Приведите примеры истинных и ложных высказываний: а из арифметики; б из физики; в из биологии; г из информатики; д из геометрии; е из жизни. Определите значения истинности высказываний: а " наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт"; б " наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт"; в " если целое число делится на 6, то оно делится на 3"; г " подобие треугольников является необходимым условием их равенства"; д " подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства"; е " треугольники подобны только в случае их равенства"; ж " треугольники равны только в случае их подобия"; з " равенство треугольников является достаточным условием их подобия"; и " для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были неподобны"; к " для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны". Подставьте в приведённые ниже высказывательные формы вместо логических переменных a, b, c, d такие высказывания, чтобы полученные таким образом составные высказывания имели смысл в повседневной жизни: а если а или b и сто d; б если не а и не bто с или d ; в а или b тогда и только тогда, когда с и не d. Формализуйте следующий вывод: "Если a и b истинны, то c — истинно. Но c — ложно: значит, a или b ложны". Формализуйте предостережение, которое одна жительница древних Афин сделала своему сыну, собиравшемуся заняться политической деятельностью: " Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят люди. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги. Но ты должен говорить правду или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят боги". Формализуйте также ответ сына: " Если я буду говорить правду, то боги будут любить. Если я буду лгать, то люди будут любить. Но я должен говорить правду или лгать. Значит, меня будут любить боги или меня будут любить люди". Из двух данных высказываний a и b постройте составное высказывание, которое было бы: а истинно тогда и только тогда, когда оба данных выказывания ложны; б ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны. Из трех данных высказываний a, b, c постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае. Упростите следующие формулы, используя законы склеивания: а б в г д Решение:. Приведите примеры переключательных схем, содержащих хотя бы два переключателя, функция проводимости которых а тождественно равна единице; б тождественно равна нулю. Постройте переключательные схемы с заданными функциями проводимости: 5. Три девочки — Роза, Маргарита и Анюта представили на конкурс цветоводов корзины выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием любимых цветов. Какие цветы вырастила каждая из девочек? Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что это были "Жигули", первая цифра номера машины — единица. Второй свидетель сказал, что машина была марки "Москвич", а номер начинался с семёрки. Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с единицы. При дальнейшем расследовании выяснилось, что каждый из свидетелей правильно указал либо только марку машины, либо только первую цифру номера. Какой марки была машина и с какой цифры начинался номер? Пятеро одноклассников: Ирена, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что: победитель олимпиады по информатике учит Ирену и Тимура работе на компьютере; Камилла и Эльдар тоже заинтересовались информатикой; Тимур всегда побаивался физики; Камилла, Тимур и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием; Тимур и Камилла поздравили победителя олимпиады по математике; Ирена cожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу. Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят? Ирена любит мороженое с фруктами. В кафе был выбор из таких вариантов: пломбир с орехами; пломбир с бананами; пломбир с черникой; шоколадное с черникой; шоколадное с клубникой. В четырёх вариантах Ирене не нравились или тип мороженого, или наполнитель, а в одном варианте ей не нравились ни мороженое, ни наполнитель. Она попросила приготовить из имеющихся продуктов порцию по своему вкусу. Какое же мороженое и с какими фруктами любит Ирена? На очередном этапе автогонок "Формула 1" первые четыре места заняли Шумахер, Алези, Хилл и Кулхардт. Опоздавший к месту награждения телерепортёр успел заснять пилотов, занявших второе и третье места, которые поливали друг друга шампанским. В это время Шумахер с четвёртым гонщиком пожимали друг другу руки. Далее в кадр попал мокрый Хилл, поздравляющий пилота, занявшего второе место. Напоследок оператор снял сцену, в которой Шумахер и Кулхардт пытались втащить на пьедестал почёта пилота, занявшего четвёртое место. Просматривая отснятый материал, режиссёр спортивного выпуска быстро разобрался, кто из пилотов какое место занял. Он знал, что, в соответствии с церемонией награждения победителей гонок, пилоты, занявшие первые три места, поливают друг друга шампанским из огромных бутылок знаменитой фирмы — спонсора соревнований. Какое же место занял каждый пилот? В некотором царстве-государстве повадился Змей Горыныч разбойничать. Послал царь четырёх богатырей погубить Змея, а награду за то обещал великую. Вернулись богатыри с победой и спрашивает их царь: "Так кто же из вас главный победитель, кому достанется царёва дочь и полцарства? Алеша Попович возразил: "То был Микула Селянинович". Микула Селянинович: "Не прав Алеша, не я это". Добрыня Никитич: "И не я, батюшка". Подвернулась тут баба Яга и говорит царю: "А прав то лишь один из богатырей, видела я всю битву своими глазами". Кто же из богатырей победил Змея Горыныча? При составлении расписания на пятницу были высказаны пожелания, чтобы информатика была первым или вторым уроком, физика — первым или третьим, история — вторым или третьим. Можно ли удовлетворить одновременно все высказанные пожелания? Обсуждая конструкцию нового трёхмоторного самолёта, трое конструкторов поочередно высказали следующие предположения: 1 при отказе второго двигателя надо приземляться, а при отказе третьего можно продолжать полёт; 2 при отказе первого двигателя лететь можно, или при отказе третьего двигателя лететь нельзя; 3 при отказе третьего двигателя лететь можно, но при отказе хотя бы одного из остальных надо садиться. Лётные испытания подтвердили правоту каждого из конструкторов. Определите, при отказе какого из двигателей нельзя продолжать полёт. В соревнованиях по плаванию участвовали Андрей, Виктор, Саша и Дима. Их друзья высказали предположения о возможных победителях: 1 первым будет Саша, Виктор будет вторым; 2 вторым будет Саша, Дима будет третьим; 3 Андрей будет вторым, Дима будет четвёртым. По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое ложно. Какое место на соревнованиях занял каждый из юношей, если все они заняли разные места. Для длительной международной экспедиции на околоземной космической станции надо из восьми претендентов отобрать шесть специалистов: по аэронавтике, космонавигации, биомеханике, энергетике, медицине и астрофизике. Условия полёта не позволяют совмещать работы по разным специальностям, хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями. Обязанности аэронавта могут выполнять Геррети и Нам; космонавигатора — Кларк и Фриш; биомеханика — Фриш и Нам; энергетика — Депардье и Леонов; врача — Депардье и Хорхес; астрофизика — Волков и Леонов. По особенностям психологической совместимости врачи рекомендуют совместные полеты Фриша и Кларка, а также Леонова с Хорхесом и Депардье. Напротив, нежелательно, чтобы Депардье оказался в одной экспедиции с Намом, а Волков — с Кларком. Кого следует включить в состав экспедиции?

  Комментарии к новости 
 Главная новость дня Главная новость дня 
Вид многоголосия в музыке
Lets rock перевод
Барокко в самаре каталог
Инструкция нева люкс 8224
Закон по охране труда рф
План конспект урока строение и работа сердца
Тест драйв шевроле авео
Нож для шинкования капусты
Основные направления деятельности психолога
 
 Эксклюзив Эксклюзив 
Карта сайта
Лист ознакомления с инструкцией по охране труда образец
Стихи достоевского короткие
Закон всемирного тяготения конспект
Автобиография образец написания в казахстане студента
Накладная бланк образец
Признаки опухоли кишечника